遛狗问题：摩托车来回穿梭

1. 把“一个来回”看成一轮

   丙从甲身边出发 → 遇到乙立刻掉头 → 回到甲身边，这叫一轮。出发时算第零次与甲相遇，所以“第二次与甲相遇”就是第 2 轮结束。

2. 去程：距离变成原来的几分之几

   去程开始时，甲、丙在一起，与乙相距一段。丙和乙相向，每小时合走 $63+v_{\text{乙}}$ 千米，把这段距离走完就相遇；同一段时间里，丙每小时比甲多走 $63-9=54$ 千米。

   丙遇到乙的那一刻，乙就在丙身边，所以甲乙距离＝丙领先甲的路程。两段路用的是同样的时间，长短之比就等于每小时走的之比：

   $$\text{去程后的距离}:\text{去程前的距离}=54:(63+v_{\text{乙}})$$

3. 返程：同样的道理

   丙掉头与甲相向，每小时合走 $63+9=72$ 千米；同一时间里丙和乙都朝 A 走，丙每小时把乙甩开 $63-v_{\text{乙}}$ 千米。丙回到甲身边时，甲乙距离＝丙甩开乙的路程：

   $$\text{返程后的距离}:\text{返程前的距离}=(63-v_{\text{乙}}):72$$

   两个比例只和速度有关，与距离长短无关，所以每一轮都缩小成同一个分数。

4. 两轮从 125 到 45：每轮 ×3/5

   两轮一共缩小到 $\dfrac{45}{125}=\dfrac{9}{25}=\dfrac35\times\dfrac35$，每轮相同，所以每轮都是 $\times\dfrac35$：

   $$125\xrightarrow{\times\frac35}75\xrightarrow{\times\frac35}45\xrightarrow{\times\frac35}27$$

5. 用份数求乙的速度

   一轮的比例＝去程比例 × 返程比例，其中 $\dfrac{54}{72}=\dfrac34$ 已经知道：

   $$\frac{54}{63+v_{\text{乙}}}\times\frac{63-v_{\text{乙}}}{72}=\frac34\times\frac{63-v_{\text{乙}}}{63+v_{\text{乙}}}=\frac35$$

   所以 $\dfrac{63-v_{\text{乙}}}{63+v_{\text{乙}}}=\dfrac35\div\dfrac34=\dfrac45$：把“$63+v_{\text{乙}}$”看作 5 份，“$63-v_{\text{乙}}$”就是 4 份。两者相加正好是 $63\times2=126$，对应 9 份，1 份＝14。于是 $63+v_{\text{乙}}=70$，乙每小时 7 千米（检验：$63-7=56=4\times14$）。

6. 甲乙何时相距 29 千米

   甲乙相向，不论丙在哪里，两人每小时都靠近 $9+7=16$ 千米。

   相距 45 千米（第 2 轮结束）时：$(125-45)\div16=5$ 小时，甲在 $9\times5=45$ 千米处，丙也在这里，乙在 $125-7\times5=90$ 千米处。

   相距 29 千米时：$(125-29)\div16=96\div16=6$ 小时。第 3 轮结束时甲乙相距 27 千米，比 29 小，说明 6 小时时第 3 轮还没结束。

7. 第 3 轮去程：丙在 85.5 千米处遇到乙

   从第 5 小时起，丙与乙相距 45 千米，合速 $63+7=70$，经过 $45\div70=\dfrac{9}{14}$ 小时相遇，相遇点距 A：$45+63\times\dfrac{9}{14}=45+40.5=85.5$ 千米。

   离第 6 小时还剩 $1-\dfrac{9}{14}=\dfrac{5}{14}$ 小时，这段时间丙在往回走。

8. 最后 5/14 小时：甲丙相距 9 千米

   丙往回走 $63\times\dfrac{5}{14}=22.5$ 千米，到了 $85.5-22.5=63$ 千米处；甲在 $9\times6=54$ 千米处。

   $$63-54=9\ \text{千米}$$

   验算：乙在 $125-7\times6=83$ 千米处，甲乙相距 $83-54=29$ 千米，与题设一致。

一句话每轮按同一比例缩小 → 两轮 125→45，每轮 ×3/5 → 份数求出乙速 7 → 6 小时相距 29 → 丙已从 85.5 千米处折返，到 63 千米处，与甲（54）相距 9。

• 数错次数：出发时是“第零次”，第二次与甲相遇是丙回到甲身边的第 2 次，不是第 2 次遇到乙。
• 以为每轮减少同样多：125→85→45 是错的；距离是按同一比例缩小（×3/5），不是减去同一个数。
• 套用“遛狗总路程”：经典做法是“丙一直在跑，总路程＝速度×总时间”，但本题问的是某一时刻的位置，必须看丙这一刻在往哪边走。
• 弄错丙的方向：第 6 小时丙已经在 $\tfrac{79}{14}$ 小时遇到乙并掉头，正在往回走，还没回到甲身边（第 $\tfrac{49}{8}$ 小时才回到）。
• 算成乙与丙的距离：题目问的是甲与丙，$63-54=9$；乙丙之间是 $83-63=20$ 千米。